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Jack Is The One ha scritto:

Lyndon ha scritto:

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Lyndon ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Lo Zio Gelli ha scritto:

che ridere

+1

Maxwell ha scritto:

Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare [modifica]

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[quote=Maxwell]Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

più belli questi quote

Adanos ha scritto:

Maxwell ha scritto:

Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare [modifica]

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[quote=Maxwell]Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

più belli questi quote

o_O???

Lyndon ha scritto:

Skraus ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Lyndon ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Lyndon ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Lyndon ha scritto:

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Lyndon ha scritto:

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Lyndon ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Lo Zio Gelli ha scritto:

che ridere

+1

Che idioti. -.-"





XD

Jack Is The One ha scritto:

Skraus ha scritto:

Adanos ha scritto:

Maxwell ha scritto:

Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare [modifica]

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[quote=Maxwell]Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

più belli questi quote

o_O???

... Ma bisogna pure leggerlo quello che ha scritto Maxwell?

"Nati il 25 settembre"

A

* Lee Aaker
* Niccolò Ammaniti
* Aurelio Angelini
* Vittoria Carlotta di Anhalt-Bernburg-Schaumburg-Hoym
* Dorotea di Anhalt-Zerbst
* Angelo Arcidiacono
* Mao Asada
* Ashikaga Yoshimitsu
* Bartolomeo Aymo

B

* Tijjani Babangida
* Salvatore Bagni
* Angelo Maria Bandini
* Carlo Bandirola
* Francesco Bartolozzi
* Agostino Bassi
* Thomas Bäumle
* Harold Becker
* Anthony Stafford Beer
* Ihor Ivanovyč Belanov
* Leonardo Benevolo
* Josef Bican
* Chauncey Billups
* Oscar Bonavena
* Sergej Fëdorovič Bondarčuk
* Alessandra Borghese
* Francesco Borromini
* Gabriele Boscetto
* Nikos Boudouris
* Madeleine Bourdouxhe
* Carl Braun
* Luigi Ernesto di Brunswick-Lüneburg
* Robert Bresson
* Hubie Brown
* Antonio Bueno
* Ottavio Bugatti
* John Bull (astronauta)

C

* Lionardo Vigo Calanna
* Carlo Caldera
* Plutarco Elías Calles
* Giuseppe Capecelatro
* Filippo Carcano
* Pierre Carniti
* Luigi Caruso
* Daniela Ceccarelli
* Nino Cerruti
* Yavuz Çetin
* Vitalij Valerianovič Ceškovskij
* Francesco Chiesa (calciatore)
* Fletcher Christian
* Albert Cigagna
* Rudy Cipolla
* Ludo Coeck
* E.C. Coleman
* Diego Coletti
* Antonio Colocci
* Nicola Conforto
* Harald Cramér
* Alessandro Crescenzi (calciatore)
* Joseph Nicolas Cugnot

D

* Matteo Da Ros
* Olivier Dacourt
* Colin Davis (direttore d'orchestra)
* Maurilio De Zolt
* Marie Anne de Vichy-Chamrond, marquise du Deffand
* Roberto Del Giudice


D cont.

* Achille Mario Dogliotti
* Rudolph Douala
* Michael Douglas
* Maria Doyle Kennedy
* Clea DuVall
* Fortunato Duranti

E

* Ednilson
* Roger Etchegaray
* Rashad Evans

F

* Angelo Fabroni
* Chiarissimo Falconieri Mellini
* Alberto Fantacone
* William Faulkner
* Federico Guglielmo II di Prussia
* Daniel Márcio Fernandes
* Emilio Ferrazzini
* Ignazio Fiore
* Jason Flemyng
* Lalla Francia
* Nicole Fugere

G

* Tolomeo Gallio
* Bobbito García
* Ricardo Gardner
* Tommaso Gargallo
* Joël Gaspoz
* Robert Gates
* Nicholas George
* Elio Germano
* William Godfrey
* Armando Gonçalves Teixeira
* Abraham Gottlob Werner
* Glenn Gould
* Bartolomeo Grazioli
* Cornell Green
* Teresa Grillo Michel

H

* Péter Halmosi
* Mark Hamill
* Kai Erik Herlovsen
* Christian Gottlob Heyne
* Ron Hill
* W. Daniel Hillis
* Marshevet Hooker
* John Hope, I marchese di Linlithgow
* Billy Hughes
* Jamie Hyneman

I

* Vander Iacovino
* Kiyoshi Ijichi
* Kikuko Inoue
* Tanzan Ishibashi

J

* Chris Jacobs
* Clara Jaione
* William Le Baron Jenney
* Helen Johns
* Chris Johnson
* Slaviša Jokanović
* Juárez de Souza Texeira

K

* Feroz Khan
* Grigory Kiriyenko
* Nobutake Kondō
* Vladimir Petrovič Köppen
* Jason Koumas

L

* Rocco Larussa
* François Laurent
* Bob Layton
* Sebastião Lazaroni
* Neville Lederle
* Gianfranco Leoncini


L cont.

* Luciano Lilloni
* Jean-René Lisnard
* Heather Locklear
* Luigi V d'Assia-Darmstadt
* Josemir Lujambio

M

* Michael Madsen
* Adolfo Manzi
* Catiuscia Marini
* Smiljana Marinović
* Leonel Marshall
* Massimo Mattioli
* Charles Robert Maturin
* Abu l-A'la Maududi
* Bob McAdoo
* Rashad McCants
* Jerónimo Méndez Arancibia
* Francisco Mendoza Bobadilla
* Giuseppe Merisi
* Ottorino Mezzalama
* Paola Minaccioni
* Marcello Montanari
* Carlo Montano
* Alessandra Montrucchio
* Joel Moore
* Tullo Morgagni
* Thomas Hunt Morgan
* Jonathan Motzfeldt
* Robert Muldoon
* Brian Murphy

N

* Evemero Nardella
* Rinaldo Nocentini
* Lee Norris
* Mario Novaro

O

* Jamie O'Hara
* Mario Occhipinti
* Rudolf Otto
* Chris Owen

P

* Angelo Palombo
* Silvana Pampanini
* Evelyne Papale Terras
* Tancredi Parmeggiani
* Pedro Espinha
* Henry Pelham
* Evaristo Pérez
* Claude Perrault
* Sandro Pertini
* Henri Pescarolo
* Václav Pichl
* Scottie Pippen
* Umberto Pirilli
* Lino Pizzi
* Giuseppe Pontiggia
* Rinaldo Prandoni
* Sándor Pósta

Q

* Qianlong

R

* Jean-Philippe Rameau
* Juande Ramos
* Salvo Randone
* Aldo Ray
* Christopher Reeve
* Paul Reinecke
* Jean-Pierre Ricard
* Armand Emmanuel de Vignerot du Plessis de Richelieu
* Mario Riondino
* Sam Rivers (sassofonista)
* Louis-René-Édouard de Rohan-Guéménée
* Ole Rømer

Rock & Kill ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Skraus ha scritto:

Adanos ha scritto:

Maxwell ha scritto:

Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare [modifica]

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[quote=Maxwell]Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

più belli questi quote

o_O???

... Ma bisogna pure leggerlo quello che ha scritto Maxwell?

perchè qualcuno lo a letto??

purtroppo

Skraus ha scritto:

Rock & Kill ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Skraus ha scritto:

Adanos ha scritto:

Maxwell ha scritto:

Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare [modifica]

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[quote=Maxwell]Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

più belli questi quote

o_O???

... Ma bisogna pure leggerlo quello che ha scritto Maxwell?

perchè qualcuno lo a letto??

Boh, io mi son fermato dopo le prime due righe.... xD

Lyndon ha scritto:

Rock & Kill ha scritto:

Skraus ha scritto:

Rock & Kill ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Skraus ha scritto:

Adanos ha scritto:

Maxwell ha scritto:

Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare [modifica]

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[quote=Maxwell]Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

più belli questi quote

o_O???

... Ma bisogna pure leggerlo quello che ha scritto Maxwell?

perchè qualcuno lo a letto??

Boh, io mi son fermato dopo le prime due righe.... xD

io l'ho letto U.U

Riassumilo :omg:

Lyndon ha scritto:

Skraus ha scritto:

Lyndon ha scritto:

Rock & Kill ha scritto:

Skraus ha scritto:

Rock & Kill ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Skraus ha scritto:

Adanos ha scritto:

Maxwell ha scritto:

Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare [modifica]

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[quote=Maxwell]Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

più belli questi quote

o_O???

... Ma bisogna pure leggerlo quello che ha scritto Maxwell?

perchè qualcuno lo a letto??

Boh, io mi son fermato dopo le prime due righe.... xD

io l'ho letto U.U

Riassumilo :omg:

dice che ti puzza il culo

può essere stò prendendo lezioni dallo zio ma è difficile ci vuole costanza e ipegnio....

l'ipegnio è importante

Lyndon ha scritto:

Skraus ha scritto:

Lyndon ha scritto:

Rock & Kill ha scritto:

Skraus ha scritto:

Rock & Kill ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

Skraus ha scritto:

Adanos ha scritto:

Maxwell ha scritto:

Forma differenziale

Nota: In questo paragrafo e nei successivi la forma B, E, A etc. denota i vettori
Nel caso più generale, in cui i campi dipendono dalle coordinate spaziali e dal tempo, la forma differenziale delle equazioni di Maxwell nel vuoto è, nel sistema di unità di misura internazionale:

\begin{cases} \nabla \cdot \mathbf E = \dfrac {\rho}{\epsilon_0}\\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t}\\ \nabla \cdot \mathbf B = 0\\ \nabla \times \mathbf B = \mu_0 \mathbf J + \epsilon_0 \mu_0 \dfrac {\partial \mathbf E}{\partial t} \end{cases}

dove ∇∙ e ∇× sono rispettivamente gli operatori differenziali divergenza e rotore espressi tramite l'operatore nabla, E è il campo elettrico, B l'induzione magnetica (o B= μ0 H dove H è il campo magnetico), ρ la densità di carica e J il vettore densità di corrente. Le costanti ε0 e μ0 sono dette rispettivamente costante dielettrica del vuoto e permeabilità magnetica del vuoto, e sono legate dalla relazione 1/c2 = ε0 μ0, dove c è la velocità della luce. La quarta equazione di Maxwell può dunque essere scritta

c^2 \nabla \times \mathbf B = \frac {\mathbf J}{\epsilon_0} + \frac {\partial \mathbf E}{\partial t}

Quando sono espresse in questa forma, nota anche come microscopica, le equazioni di Maxwell permettono di calcolare l'evoluzione dei campi elettromagnetici nel vuoto

\begin{cases} \mathbf E(\mathbf r,t)\\ \mathbf B(\mathbf r,t) \end{cases}

una volta assegnate la densità di carica e la densità di corrente

\begin{cases} \rho(\mathbf r,t)\\ \mathbf J(\mathbf r,t) \end{cases}

La forza di Lorentz, invece, è la legge che esprime l'effetto che il campo elettrico e quello magnetico hanno su di una carica elettrica q

\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)

Le equazioni di Maxwell, insieme alla forza di Lorentz, descrivono completamente l'interazione elettromagnetica classica, ovvero come una carica in movimento interagisce con un'altra carica in movimento. Le stesse equazioni possono anche essere scritte in forma integrale.

Correzioni nei materiali

Per una corretta descrizione dei campi elettromagnetici all'interno dei mezzi materiali, è necessario tenere conto del fatto che questi interagiscono con i campi polarizzandosi e magnetizzandosi. Poiché la polarizzazione e la magnetizzazione della materia generano a loro volta un campo elettromagnetico, diviene praticamente intrattabile il problema di un aggregato di un gran numero di molecole in interazione con il campo; risulta preferibile approssimare il mezzo come un continuo, e dare una descrizione macroscopica dei campi, che vanno intesi come valori medi misurati in una zona di spazio che contenga un numero significativamente elevato di molecole. Le equazioni di Maxwell in forma macroscopica divengono

(1)\quad \begin{cases} \nabla \cdot \mathbf D = \rho \\ \nabla \times \mathbf E = -\dfrac {\partial \mathbf B}{\partial t} \\ \nabla \cdot \mathbf B = 0 \\ \nabla \times \mathbf H = \mathbf J + \dfrac{\partial \mathbf D}{\partial t} \end{cases}

dove i nuovi campi D (induzione elettrica) e H (campo magnetico) tengono conto dei contributi delle cariche di polarizzazione e delle correnti di magnetizzazione nella materia:

(2)\quad\mathbf D = \epsilon_0 \mathbf E + \mathbf P

(3)\quad\mathbf B = \mu_0 (\mathbf H + \mathbf M)

dove i vettori P (polarizzazione) e M (magnetizzazione) rappresentano valor medio del momento di dipolo elettrico e magnetico per unità di volume.

Indubbiamente, per risolvere le equazioni di Maxwell macroscopiche, è necessario conoscere il valore dei campi P e M: nel caso più semplice di mezzi lineari e isotropi, in cui i vettori polarizzazione e magnetizzazione sono direttamente proporzionali rispettivamente ai campi elettrico e magnetico, le relazioni fra D ed E e fra B ed H (note come relazioni costitutive) divengono le seguenti:

\mathbf D = \epsilon_0 \epsilon_r \mathbf E
\mathbf B = \mu_0 \mu_r \mathbf H

dove le costanti di proporzionalità εr e μr sono chiamate rispettivamente costante dielettrica e permeabilità magnetica del mezzo. In realtà, tali costanti esprimono solamente l'autointerazione dei campi nelle particelle materiali, come valore medio. Se si guardasse alle singole particelle, sarebbero valide le equazioni generali.

Dal sistema di equazioni (1) e dalle (2) e (3) si ricava che:

(4)\quad\nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = -\mu\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf H) = -\mu\epsilon\frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}

La velocità della luce può essere espressa in relazione a permeabilità magnetica ed elettrica relative del materiale:

(5)\quad\mu\epsilon = \frac {1}{v^2}

Nello spazio vuoto, ovvero dove ρ = 0 e J = 0, tenendo conto della (4) e della (5), si determina l'equazione d'onda di d'Alembert per E

\nabla^2\mathbf E = \nabla(\nabla\cdot\mathbf E) - \nabla\times(\nabla\times\mathbf E) = \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf E}{\partial t^2}

Con passaggi analoghi, si determina l'identica relazione per il campo B. Ciò mostra allora l'esistenza delle onde elettromagnetiche

Soluzioni delle equazioni - il potenziale vettore e il potenziale scalare [modifica]

La terza equazione stabilisce che la divergenza di B è nulla. Poiché la divergenza di un rotore è sempre nulla, esiste un campo vettoriale A per cui

\mathbf B = \nabla \times \mathbf A

Il vettore A è detto potenziale vettore. Allora possiamo riscrivere la seconda equazione di Maxwell come

\nabla \times \mathbf E = - \frac {\partial }{\partial t} \nabla \times \mathbf A

che può anche essere espressa come

\nabla \times (\mathbf E + \frac {\partial }{\partial t} \mathbf A)=0

Poiché il rotore di un gradiente è sempre nullo, possiamo introdurre il potenziale scalare \phi \,\! nel modo seguente

\mathbf E + \frac {\partial \mathbf A}{\partial t} = - \nabla \phi

da cui segue

\mathbf E = - \nabla \phi - \frac {\partial \mathbf A}{\partial t}

Riassumendo abbiamo definito un potenziale vettore ed un potenziale scalare legati ai campi vettoriali E e B dalle equazioni

\begin{cases}\mathbf B = \nabla\times\mathbf A\\\mathbf E = -\nabla\phi-\frac{\partial }{\partial t}\mathbf A\end{cases}

Con queste nuove definizioni, la prima equazione di Maxwell diventa

\nabla\cdot (-\nabla\phi -\frac {\partial \mathbf A}{\partial t})=\frac{\rho}{\epsilon _0}

cioè

(1)\quad -\nabla^2\phi-\frac{\partial}{\partial t}\nabla\cdot\mathbf A=\frac{\rho }{\epsilon _0}

La quarta equazione di Maxwell, invece, si trasforma come segue

c^2\nabla\times(\nabla\times\mathbf A) = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}+\frac{\partial}{\partial t}(-\nabla\phi-\frac{\partial\mathbf A}{\partial t})

ossia, usando l'identità vettoriale ∇ × (∇ × C) = ∇ (∇ · C) - ∇2C

(2)\quad -c^2\nabla^2\mathbf A + c^2\nabla(\nabla\cdot\mathbf A)+\frac{\partial\nabla\phi}{\partial t}+\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = \frac{\mathbf J}{\epsilon _0}

Sfruttando ancora una volta il fatto che il rotore di un campo gradiente è nullo, si scopre facilmente che, eseguendo la seguente trasformazione

\begin{cases}\mathbf A \mapsto \mathbf A + \nabla \Psi\\\phi \mapsto \phi - \frac {\partial \Psi}{\partial t}\\\end{cases}

dove Ψ è un qualsiasi campo scalare sufficientemente regolare, allora le espressioni per i campi elettrico e magnetico rimangono invariate. Per verificarlo basta sostituire i nuovi potenziali nelle espressioni di E e di B ricavate sopra. Questa operazione è detta trasformazione di gauge, ossia calibrazione, dal termine inglese gauge, calibro. Nella fattispecie, quella sopra introdotta è nota come Gauge di Lorentz. Essa si riduce alla Gauge di Coulomb nel caso stazionario, cioè quando ϕ non dipende dal tempo.

Sfruttando l'invarianza di gauge, possiamo scegliere ∇ · A a piacere. Scelto, ad esempio

\nabla\cdot\mathbf A = -\frac{1}{c^2}\frac{\partial\phi}{\partial t}

e sostituendo in (1) e (2), si ottengono due equazioni disaccoppiate

(3)\quad\nabla^2\phi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\frac{\rho }{\epsilon _0}

Similmente nella (2), eliminando i termini opposti, ottengo

(4)\quad\nabla^2\mathbf A-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} = -\mu _0\mathbf J

Entrambe queste espressioni sono dei quadrivettori, che descrivono delle onde sferiche che avanzano nello spaziotempo con velocità c.

Riassumendo, per risolvere le equazioni di Maxwell si introduce il potenziale vettore e quello scalare che, inseriti nelle equazioni di Maxwell e sfruttando l'invarianza di gauge diventano un sistema di quattro equazioni differenziali in quattro funzioni scalari incognite. Esplicitando, il sistema assume la forma

\begin{cases} \nabla ^2 \phi - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\displaystyle\frac {\rho }{\epsilon _0}\\ \nabla ^2 A _x - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _x}{\partial t^2} = -\mu _0 J _x\\ \nabla ^2 A _y - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _y}{\partial t^2} = -\mu _0 J _y\\ \nabla ^2 A _z - \displaystyle\frac {1}{c^2} \frac {\partial^2 A _z}{\partial t^2} = -\mu _0 J _z\\ \end{cases}

Questo permise di enunciare la teoria secondo cui le onde elettromagnetiche e luce sono aspetti differenti della stessa cosa, in quanto mostrano lo stesso comportamento e la stessa velocità. Inoltre, come si vede, erano le prime leggi corrette secondo la teoria della relatività di Einstein, e quindi andavano ad aggiungere un'altra crepa all'edificio già scricchiolante della fisica classica.

Forma tensoriale relativistica

I potenziali A e V possono essere usati per formare le componenti di un quadrivettore. Per rendere conto delle trasformazioni relativistiche, consideriamo i risultati ottenuti prima. Se formiamo un quadrivettore Jμ con i termini noti delle due equazioni scalari di Maxwell, otteniamo:

J^{\mu} = (c\rho, \mathbf J) = \rho(c,\mathbf v) = \rho_0\gamma(c,\mathbf v) = \rho_0 U^{\mu}

dove ρ0 è la densità di carica a riposo, misurata cioè in un sistema solidale con la distribuzione di cariche, e Uμ rappresenta la quadrivelocità Adesso il quadripotenziale è definito come

A^{\mu}=\left(\frac{V}{c},\mathbf A\right)

Per definizione di divergenza nello spazio di Minkowski è allora, per quanto visto prima

\nabla \cdot \vec A + \frac{\partial V}{\partial t}=0

Questo fornisce la relazione

\frac {\partial A_x}{\partial x} + \frac {\partial A_y}{\partial y} + \frac {\partial A_z}{\partial z} + \frac {\partial V}{\partial t} = 0

Ma questa non è altro che la condizione di Lorentz per l'invarianza di un quadrivettore. Quindi l'operazione di gauge introdotta in precedenza stabiliva l'invarianza del quadrivettore formato dalle componenti di A e V. Ne deriva che il campo elettromagnetico è una teoria di gauge.

Se consideriamo l'operatore di d'Alembert

\Box = \nabla ^2 - \frac {1}{c^2}\frac {\partial^2 }{\partial t^2}

risulta che le equazioni di Maxwell possono essere scritte molto brevemente nella forma

\Box A^\mu = - \mu J^\mu

Le derivate delle componenti del quadripotenziale formano un tensore del secondo ordine generato da un vettore polare E e da uno assiale B. Se si pone F^{\mu\nu}= \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} si ha la rappresentazione

F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}

Lo studio delle soluzioni delle equazioni di Maxwell scritte in forma covariante è l'oggetto dell'elettrodinamica classica.

[quote=Maxwell]Forma integrale

Un'altra forma delle equazioni di Maxwell è quella integrale, che viene di seguito riportata nel caso macroscopico (n è il versore normale punto per punto alla superficie S):

\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n} \,\operatorname dS = \frac {1}{\epsilon_0} \iiint \rho~\operatorname{d}V
\oint_C \mathbf E \cdot \operatorname d\mathbf l = -\frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t} \iint_S \mathbf B\cdot\hat{\mathbf n}\, \operatorname dS
\iint_S \mathbf B \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS = 0
\oint_C \mathbf B \cdot \operatorname d\mathbf l = \mu I + \mu\epsilon \frac {\operatorname{d}}{\operatorname{d}t}\iint_S \mathbf E \cdot \hat{\mathbf n}\, \operatorname dS

dove la prima equazione è meglio nota come legge di Gauss, la seconda come legge di Faraday, la quarta come legge di Ampere-Maxwell, mentre la terza è semplicemente l'assenza del monopolo magnetico. Per ricavare le equazioni di Maxwell in forma integrale dalla corrispondente forma locale, è necessario applicare il teorema di Green o il teorema della divergenza.

più belli questi quote

o_O???

... Ma bisogna pure leggerlo quello che ha scritto Maxwell?

perchè qualcuno lo a letto??

Boh, io mi son fermato dopo le prime due righe.... xD

io l'ho letto U.U

Riassumilo :omg:

dice che ti puzza il culo

Riassumilo seriamente, per favore. -.-"

per me non lo a letto...

Già! XD

prendine un pò Skraus...


HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
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Jack Is The One ha scritto:

prendine un pò Skraus...


HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
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sono optional :omg:

Non è vero... non dice quello. u_u

Skraus ha scritto:

Jack Is The One ha scritto:

prendine un pò Skraus...


HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH
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HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH

sono optional :omg:

NO!!!

E' l'italiano, cazzo! -.-'







Jack -> :king: